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El Modelo de Regresión Simple

El Modelo de Regresión Simple es una ecuación que intenta explicar el comportamiento de una variable (variable dependiente) en función de otra variable  (variable explicativa). Por ejemplo una ecuación que pretenda explicar el comportamiento del PIB (Producto Interior Bruto) en función de otra variable como puede ser el IPI (Índice de Producción Industrial) es un Modelo de Regresión Simple. En el caso de que fuesen, en lugar de una sola variable, varias variables estaríamos hablando de un Modelo de Regresión Múltiple.

modelo de regresion simple

¿Por qué realizar este modelo? Representación gráfica

El Modelo de Regresión Simple es un modelo lineal que se calcula minimizando las diferencias entre las observaciones y la media de las mismas. ¿Qué quiere decir esto? Vamos a ver un ejemplo con el PIB y el IPI con datos desde 2009 hasta 2015:

crecimiento del PIBUna vez calculamos el Modelo de Regresión Simple, este nos arroja que el crecimiento del PIB está explicado por la ecuación escrita en rojo que se representa por la línea ascendente negra. Es decir, un intercepto (-0,04) el cual no tiene interpretación económica y un coeficiente (Beta) de 0,42. Que este coeficiente Beta valga 0,42 significa que por cada cada 1% que crece el IPI, el PIB aumenta un 0,42%.

Ahora bien, ¿Por qué -0,04 y 0,42? Estos coeficientes son el resultado de estimar una ecuación tal que la suma de las diferencias entre la línea que representa la ecuación (en nuestro caso la línea negra) y los puntos azules sea mínima. Tal como vemos en el gráfico, el objetivo es minimizar la suma de esas distancias en su conjunto.

diferencias

De manera que cuanto menor sean las diferencias entre la recta de regresión (línea negra) y las observaciones más fiable serán teóricamente los resultados del modelo. Los siguientes diagramas de dipersión relacionan las ventas de una empresa en el eje vertical y el precio en el eje horizontal. La relación es negativa, es decir, cuanto mayor es el precio menores son las ventas. ¿Qué empresa crees que podrá desarrollar un modelo más fiable? ¿ A, B o C ? Modelo de regresion simpleLa respuesta correcta es la B. Si suponemos una línea imaginaria (recta de regresión) las diferencias serán menores y por tanto nuestro “error” será más pequeño. Y por ello más probable que acertemos en nuestra predicción.

diferencias ejemplo

Cálculo de los coeficientes Alfa y Beta

Aunque la realidad que entraña el cálculo de estos coeficientes es mucho más extensa y proviene de optimizar un problema con dos ecuaciones mediante derivadas parciales. En este artículo simplemente expondremos la fórmula, sin antender al por qué de la misma. Puesto que para ello se necesita un conocimiento matemático avanzado. En cualquier caso, si alguien está interesado en ello, puede ver el siguiente vídeo que lo explica: Cálculo de los coeficientes del Modelo de Regresión

Sea un modelo tal que: PIB = Intercepto + Beta*IPI

Intercepto = Media del PIB – Beta*Media del IPI

Beta = Covarianza (IPI,PIB) / Varianza del IPI

Este ejemplo sirve para calcular cualquier Modelo de Regresión Simple, cualesquiera que sean las variables. No obstante, es muy importante, de cara a la interpretación de Beta, saber con que unidades estamos trabajando. No es lo mismo trabajar con valores absolutos que con tantos por mil, que con porcentajes.

Evaluar la validez del modelo

Evidentemente, que podamos calcular un modelo con sus correspondientes coeficientes no quiere decir que ese modelo sea fiable. Matemáticamente es posible calcular un Modelo de Regresión Simple con dos variables cualesquiera tengan relación o no. Podemos por ejemplo, realizar un modelo que explique el crecimiento del PIB de España en función del número aspiradoras que se venden en el Eroski de mi pueblo. Ahora bien, ¿Realmente este modelo nos dará fiabilidad a la hora de intentar predecir el comportamiento del PIB de España? Para ello existen estadísticos que nos darán resultados sobre la probabilidad teórica, y remarco lo de teórica, de que nuestro coeficiente estimado sea fiable. En el próximo artículo, aprenderemos a estimar el Modelo de Regresión Simple mediante el paquete estadístico R Studio y veremos los principales estadísticos y cómo se interpretan.

Los siguientes supuestos los explicaremos brevemente en el siguiente artículo. No obstante, es importante tener en cuenta lo siguientes supuestos teóricos para que el modelo se considere ‘válido’:

  • Modelo lineal
  • Media nula y Exogeneidad estricta
  • No Multicolinealidad exacta
  • La varianza de los errores debe ser constante e igual a cero. (Homocedasticidad)
  • No Autocorrelación

En próximos artículos desarrollaremos estos conceptos de forma más extensa. Y explicaremos mediante su aplicación una variedad de conceptos que por su longitud no posible tratar en un solo artículo.

Lo que hemos visto:

  • Entender el por qué del Modelo de Regresión Simple y su representación gráfica
  • Cómo calcular los coeficientes del Modelo de Regresión Simple
  • Qué supuestos deben cumplir los coeficientes del modelo para que este sea válido y fiable

 

 

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